【控制器】---滑模控制

【控制器】---滑模控制

原理

特点： 滑模控制本质上是非线性控制的一种，简单的说，它的非线性表现为控制的不连续性，即系统的“结构”不固定，可以在动态过程中根据系统当前的状态有目的地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动。

​ 滑模控制的核心思想是建立一个滑模面，将被控系统拉取到滑模面上来，使系统沿着滑模面运动。一旦系统状态达到该滑模面，它们将保持在滑模面附近运动。

​ 这里只需要将系统视为在滑动曲面上滑动。不过实际系统的实现是用高频切换来让系统近似在滑动曲面上滑动，高频切换的控制信号让系统在很邻近滑动曲面的范围内切跳，这种信号高频切换所导致输出信号会出现振荡，系统状态在所选取的滑模面附近来回颤动，这种颤动是无法消除的

滑模控制分为两个阶段：趋近阶段和滑动阶段

• 趋近阶段：系统状态从任意初始状态趋近滑模面（从状态空间的任意位置有限时间到达滑模面s=0)
• 滑动阶段：一旦系统状态达到滑模面，它们将在滑模面上运动，对外部扰动和不确定性不敏感。(在滑模面上可以收敛到原点（平衡点)）

​ 系统状态在处于滑模面等于0（或附近）系统是稳定的，所以设计的目标就是如何使s趋近于0，从而系统稳定，比如令s的导数<0.当s>0时，s^.<0,反正s<0,s^.>0，这样s最终趋近于0

优缺点

优点：

• 克服系统的不确定性
• 对干扰和未建模动态具有很强的鲁棒性（不灵敏），尤其是对非线性系统的控制具有良好的控制效果
• 调节的参数少，响应速度快

缺点：

• 硬件无法适应高频的信号切换

• 当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在两侧两会穿越地趋近平衡点，从而产生抖振

构建滑模面

​ 滑模面S(x)通常被设计为状态变量的线性组合： \[ S(x)=Cx \] 其中 C 是设计矩阵。对于跟踪控制问题，可以定义滑模面位误差状态的函数： \[ S(x)=e(t)=x(t)-x_d(t) \] 目标是使得 \[ \text{}e(t)\to0 \] 即系统状态x(t)跟踪期望状态x_d（t）。

以一个三阶系统为例： \[ \left.\left\{\begin{array}{ll}\dot{\mathrm{x}}_1&=\mathrm{x}_2\\\dot{\mathrm{x}}_2&=\mathrm{x}_3\\\dot{\mathrm{x}}_3&=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})\mathrm{u}\end{array}\right.\right. \] 其中g(x)是u前面的系数公式，大多情况下是常数表达式，也存在一些g(x) 为x的函数的情况。下文中把f(x)和g(x)略写为f和g。

立即设计滑模面，这玩意s也叫滑模切换函数 \[ \mathrm{s=c_1 e_1 + c_2 e_2 + e_3 = \sum_{i=1}^3 c_i e_i = 0} \] 其中e₃前系数为1.

找到s和u的关系，对s求导，滑模面s的导数： \[ \begin{aligned} \dot{s}& =\mathrm{c}_1 \dot{\mathrm{e}}_1 +\mathrm{c}_2 \dot{\mathrm{e}}_2 + \dot{\mathrm{e}}_3 \\ &\mathrm{=c_1 e_2 + c_2 e_3 + \dot{x}_3 - x_{1d}^{(3)}} \\ &\mathrm{=c_1~e_2~+c_2~e_3~+f~+gu-x_{1d}^{(3)}} \\ &=\Gamma+\mathrm{f}+\mathrm{gu}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)} \end{aligned} \] 并设计李雅普诺夫函数 \[ \mathrm{V} = \frac{1}{2} \mathrm{s}^2 \] 并对其求导 \[ \begin{aligned} \dot{\text{V}} &= s \dot{s} \\ &= \dot{s} \left( \Gamma + \text{f} + \text{gu} - \text{x}_{1\text{d}}^{(3)} \right) \end{aligned} \] 考虑到控制量u是需要进行设计的，先在上式中将u单独列出来 \[ \begin{aligned} \dot{V}& =\mathrm{s}\left(\Gamma+\mathrm{f}+\mathrm{g}\mathrm{u}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\right) \\ &=\mathrm{s}\left(\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\right)+\mathrm{sgu} \\ &=\text{s}\left[\left(\Gamma+\text{f}-\text{x}_{1\text{d}}^{(3)}\right)+\text{gu}\right] \\ &=\mathrm{sg}\left(\frac{\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}}{\mathrm{g}} +\mathrm{u}\right) \end{aligned} \] 该式右侧第一项与控制量u无关，第二项只含u本身

设计u具有以下形式（控制率） \[ \mathrm u=-\mathrm k\cdot\mathrm s\mathrm g\mathrm n(\mathrm s) \] 代入上式可得： \[ \begin{aligned} \dot{V}& =\mathrm{sg}\left(\frac{\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}}{\mathrm{g}} +\mathrm{u}\right) \\ &=\mathrm{sg}\left(\frac{\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}}{\mathrm{g}} -\mathrm{k}\cdot\mathrm{sgn}(\mathrm{s})\right) \\ &=\mathrm{s}\left(\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\right)-\mathrm{kg}|\mathrm{s}| \end{aligned} \] 到此，右侧第二项已经满足≤0了，现在只要看第一项即可

对于第一项有： \[ \mathrm{s}\left(\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\right)\leq\left|\mathrm{s}\right|\left|\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\right| \] 因此 \[ \begin{aligned} \text{V}& =\mathrm{s}\left(\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\right)-\mathrm{kg}|\mathrm{s}|\leq|\mathrm{s}|\bigg| \Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\bigg| -\mathrm{kg}|\mathrm{s}| \\ &=|\mathrm{s}|\left(\left|\begin{array}{c}\Gamma+\mathrm{f}-\mathrm{x}_{1\mathrm{d}}^{(3)}\end{array}\right|-\mathrm{kg}\right) \end{aligned} \] 所以只要右侧括号内≤0，就有V的导数≤0，从而达到稳定

滑模控制器设计

对于滑模变结构控制器的设计如下：

u=u_eq+u_sw

u_eq是等效控制，能够实现系统状态的跟踪，即将系统的状态一直保持在滑模面上；

u_sw是切换控制，使系统状态趋近于滑模面，削弱系统的抖振，常用的趋近率有三种：（一般用第二种指数趋近律）

​ 还记得前面提到的两个运动过程嘛。在第一段运动过程也就是趋近运动中，所谓驱动运动是指s趋向于0的过程，在这个过程中趋近律一般有如下几种设计

本节将采用指数趋近律,

等效控制部分，对s=c1e1+c2e2+e3求导得

根据s'=0可得到等效控制：

假如eta过小，那么趋近的速度很慢，调节的过程太慢；相反，若eta太大，那么系统到达切换面的时候，具有比较大的速度，引起较大的抖动。对于 k，能够加快调节时间，能够快速到达滑模面的过程，还可以削弱抖振，改善系统的品质。本文中，指数趋近律的参数 k 为 20， eta为 5。所以切换控制为： \[ \mathbf{u}_{sw}\text{=-}\boldsymbol{\varepsilon}\operatorname{sgn(s)-ks} \] 综上所述，滑模变结构的控制器设计为 \[ \begin{aligned}\text{u}&=u_{eq}+u_{sw}\\&=\frac{1}{K_{h}\omega_{h}^{2}}\begin{bmatrix}(c_{1}-\omega_{h}^{2})e_{2}+(c_{2}-2\xi_{h}\omega_{h})e_{3}\\+\varepsilon\operatorname{sgn}(\mathrm{s})+\mathrm{ks}\end{bmatrix}\end{aligned} \]

补充：为什么控制率这么设计能保证s=0

在控制原理中，用Lyapunov函数来判断系统的稳定性，对于系统状态方程s˙=cx₂+u（目标已经变成s=0，因此现在写成s的状态方程），对于平衡点s，如果存在一个连续函数V满足

那么系统将在平衡点s=0处稳定，即\(\operatorname*{lim}_{t\to\infty}s=0\) 令\(V(s,t)=1/2s^{2}\))，很明显满足第一个条件，第二个条件\(\dot{V}=s\dot{s}=-s\varepsilon \mathrm{sgn}(s)=-\varepsilon\left|s\right|<0\)也满足。满足Lyapunov函数的条件，s最终会稳定滑模面，也就是s=0。

讲到这里，我们可以稍微总结一下滑模控制的设计步骤。首先根据被控对象的状态方程设计滑模面，状态一旦到达滑模面，将以指数趋近方式达到稳定状态。然后设计趋近律求出控制器的表达，李雅普诺夫函数作为稳定性的保证，即保证s=0可达，（相平面中的其他点能到达滑模面）。